1. критерій Вальда
2. Критерій мінімаксного ризику
3. критерій Гурвіца
4. критерій Лапласа
5. послідовний аналіз
6. статистична гіпотеза

Анотація: Критерій Вальда. Критерій мінімаксного ризику. Критерій Гурвіца. Критерій Лапласа. Послідовний аналіз. Статистична гіпотеза. Отримання випадкових вибірок. Послідовні перевірки статистичних гіпотез.

критерій Вальда

Для кожного з описаних нижче критеріїв будемо припускати, що необхідно вибрати одну з дій при виборі "природою" одного з станів , В результаті чого досягається виграш

Критерій Вальда або Максимін критерій. Відповідно до цього критерію кожна дія оцінюється за найгіршим для нього станом, і оптимальним є дія, що приводить до найкращого з найгірших станів, тобто дія , Для якого досягається

,

Можна встановити, що згідно максимина критерієм складається ситуація розглядається як матрична гра і Максиміна стратегія являє собою найкращий вибір проти мінімаксної стратегії "природи", тобто проти найменш сприятливого апріорного розподілу ймовірностей станів "природи". З цієї точки зору максимина критерій є надзвичайно консервативним, так як "природа" не представляє собою скільки-небудь розумного гравця. Однак застосування цього критерію може бути доцільним, якщо за умовами обстановки подібний консерватизм має сенс.

Критерій мінімаксного ризику

Мінімаксний критерій (критерій втрат або минимаксного ризику). Відповідно до цього критерію оптимальним вважається дія, для якого величина втрат (ризику) приймає найменше значення при самій несприятливій обстановці, тобто дія , Для якого досягається

,

де визначається як величина, яку потрібно додати до , Щоб отримати максимальний виграш, що складається в -м стовпці.

Для визначення оптимальної дії згідно мінімаксне критерієм на підставі первісної матриці виграшів складається друга матриця, що показує втрати від помилок (матриця втрат). Покажемо складання матриці втрат на конкретному прикладі.

Нехай матриця виграшів задана таблицею на малюнку 12.a . з малюнка 12.a видно, що якщо застосовується дія , А стан "природи" , То по відношенню до дії досягається найбільший виграш, рівний 98 одиницям, і, отже, гравець не несе ніяких втрат. Тому показник втрат на перетині рядка і стовпці дорівнює нулю. Цей показник і записується як елемент матриці втрат. (Див. малюнок 12.b ) Якщо ж гравець застосовує дію проти стратегії , То він отримує тільки дві одиниці, тоді як максимально можливий виграш дорівнює 98. Отже, показник втрат в цьому випадку буде дорівнює ; він записується в таблицю на малюнку 12.b на перетині рядка і стовпці Інші елементи матриці втрат знаходяться аналогічним чином.

Мал.12.a.

матриця виграшів
Мал. 12.b. матриця втрат

критерій Гурвіца

Критерій песимізму-оптимізму. Відповідно до цього критерію оптимальним вважається дія , Для якого досягається

,

де

З наведеного умови видно, що критерій Гурвіца є зваженою середньою з найменших і найбільших виграшів для прийнятого коефіцієнта Зокрема, при критерій Гурвіца відповідає критерію Вальда. Зауважимо, що мінімальний критерій враховує тільки найбільший виграш, що отримується в результаті застосування будь-якої стратегії, і байдужий до будь-яких інших варіантів.

критерій Лапласа

Відповідно до цього критерію оптимальним вважається дія, якому відповідав би

Отже, критерій Байеса (Лапласа) виходить з того, що раз абсолютно невідомо, яке з станів має місце, то треба вчинити так, як ніби вони різновірогідні.

послідовний аналіз

Для побудови математичних (описових і нормативних) моделей, як правило, буває необхідно попередньо визначити характеристики тих чи інших випадкових величин або ймовірностей елементарних подій. Звичайним шляхом визначення подібних величин є обробка результатів спостережень і вимірювань. Обробка таких результатів здійснюється методами математичної статистики.

Особливе значення для застосування методів математичної статистики має питання про кількість спостережень, отриманих для оцінки того чи іншого параметра. Класичні методи статистики виходять з наявності, в крайньому випадку, достатнього числа спостережень. Однак в силу цілого ряду причин не завжди можливо набрати необхідну кількість спостережень. Досить вказати, що збільшення числа спостережень, як правило, веде до збільшення витрат матеріальних засобів і часу на проведення відповідних випробувань. У подібних випадках число спостережень доцільно заздалегідь не визначати, а рішення про закінчення експерименту приймати послідовно на кожному його етапі в залежності від результатів попередніх спостережень, - іншими словами, кожен наступний досвід виробляти лише після того, як аналіз отриманих до нього результатів покаже необхідність продовження дослідів . Такий напрям в математичній статистиці, творцем якої є А. Вальд, отримало назву послідовного аналізу. (А. Вальд. Послідовний аналіз. М., Физматгиз, 1960.)

У послідовному аналізі обсяг вибірки не встановлюється заздалегідь, а визначається в процесі аналізу статистичних даних, одержуваних послідовно в порядку їх надходження. Основна перевага цього методу в порівнянні з методами класичної статистики в тому, що він вимагає в середньому значно менше число спостережень.

статистична гіпотеза

Статистичної гіпотезою називається припущення щодо величини параметрів, що входять в розподіл випадкової величини. Рішення про прийняття або відхилення статистичної гіпотези (далі будемо говорити просто гіпотези) завжди приймається на основі кінцевого числа спостережень. Сукупність кінцевого числа спостережень називається вибіркою. Кількість спостережень, що становлять вибірку, називається обсягом вибірки.

послідовні спостереження величини називаються статистично незалежними, якщо умовний розподіл ймовірностей -го спостереження не залежить від величин попередніх спостережень. Будемо розглядати тільки випадок, коли послідовні спостереження незалежні в імовірнісному сенсі.