Корисна сторінка? Збережи або розкажи друзям 
Найчастіше в завданні про партії слід обчислити дві ймовірності і порівняти:
Два рівносильних шахіста грають в шахи. Що імовірніше: виграти 2 партії з 4 або 3 партії з 6 (нічиї до уваги не беруться).
Приклад детального вирішення цієї та подібних завдань буде нижче, а формулу ми запишемо для спрощеної завдання (коли потрібно просто знайти ймовірність того, що буде виграно $ k $ партій):
Два рівносильних шахіста грають в шахи $ n $ партій. Наскільки ймовірним є першим шахісту виграти в точності $ k $ партій (нічиї не враховуються).
Так як шахісти за умовою рівносильні, а нічиї не враховуються, вважаємо, що виграш і програш може наступити з однаковою ймовірністю. Тому $ p = q = 1/2 = 0,5 $, $ q = 1-p = 1/2 = 0,5 $. застосовуємо формулу Бернуллі і отримуємо:
$$ P_n (k) = C_n ^ k \ cdot p ^ k \ cdot (1-p) ^ {nk} = C_n ^ k \ cdot 0,5 ^ {n}. \ Qquad (1) $$
далі:
Відеоурок і шаблон Excel
подивіться наш ролик про рішення задач про ігри та партіях : Як використовувати Excel для вирішення типових задач з гравцями і партіями (як для малого, так і для великого числа партій).
Розрахунковий файл Ексель з відео можна безкоштовно скачати і використовувати для вирішення своїх завдань.
Приклади рішень завдань про шахових партіях
Розглянемо кілька типових прикладів.
Приклад 1. Два рівносильних шахіста грають в шахи. Що імовірніше виграти 2 партії з 4 або 3 партії з 6 (нічиї до уваги не беруться).
Потрібно обчислити дві ймовірності, для кожної з яких застосовуємо формулу (1). У першому випадку $ n = 4, k = 2 $, в другому - $ n = 6, k = 3 $. Отримуємо: $$ P_1 = P_4 (2) = C_ {4} ^ 2 \ cdot 0,5 ^ 4 = 6 \ cdot 0,5 ^ 4 = 0,375. $$ $$ P_2 = P_6 (3) = C_ {6} ^ 3 \ cdot 0,5 ^ 6 = 20 \ cdot 0,5 ^ 6 = 0,313. $$ Число 0,375 більше, ніж 0,313. Тому найімовірніше виграти 2 партії з 4.
Приклад 2. Грає два рівних по силі гравця, яка ймовірність вище: виграти одну партію з трьох, або три з п'яти.
Потрібно обчислити дві ймовірності, для кожної з яких застосовуємо формулу (1). У першому випадку $ n = 3, k = 1 $, у другому - $ n = 5, k = 3 $. Отримуємо: $$ P_1 = P_3 (1) = C_ {3} ^ 1 \ cdot 0,5 ^ 3 = 3 \ cdot 0,5 ^ 3 = 0,375. $$ $$ P_2 = P_5 (3) = C_ {5} ^ 3 \ cdot 0,5 ^ 5 = 10 \ cdot 0,5 ^ 5 = 0,313. $$ Так як 0,375 більше, ніж 0,313, найімовірніше виграти 1 партію з 3.
Приклад 3. Грають рівносильні супротивники. Що імовірніше: виграти не менше трьох партій з чотирьох або не менше шести з восьми? (Нічиї не враховуються)
На відміну від попередніх завдань, тут потрібно знайти ймовірність того, що число виграшних партій буде знаходиться в деякому інтервалі (а не дорівнює в точності якомусь числу). Але формула використовується як і раніше таж сама.
Знайдемо ймовірність виграти не менше трьох партій з чотирьох, тобто ймовірність виграти або три партії, або чотири партії. Дані ймовірності рівні за формулою (1):
$$ P_4 (3) = C_ {4} ^ 3 \ cdot 0,5 ^ 4 = 4 \ cdot 0,5 ^ 4 = 0,25. $$ $$ P_4 (4) = C_ {4} ^ 4 \ cdot 0,5 ^ 4 = 1 \ cdot 0,5 ^ 4 = 0,0625. $$
Так як події (виграти 3 партії з 4) і (виграти 4 партії з 4) несумісні, шукана ймовірність може бути знайдена за формулою складання ймовірностей: $ P_1 = P_4 (3) + P_4 (4) = 0,3125. $
Аналогічно знаходимо другу ймовірність виграти не менше 6 партій з 8 (тобто виграти або 6, або 7, або 8 партій). Цього разу все обчислення запишемо відразу в одну формулу:
$$ P_2 = P_8 (6) + P_8 (7) + P_8 (8) = C_ {8} ^ 6 \ cdot 0,5 ^ 8 + C_ {8} ^ 7 \ cdot 0,5 ^ 8 + C_ {8 } ^ 8 \ cdot 0,5 ^ 8 = $$ $$ = 28 \ cdot 0,5 ^ 8 + 8 \ cdot 0,5 ^ 8 + 1 \ cdot 0,5 ^ 8 = 0,145. $$
Отже, найімовірніше виграти не менше 3 партій з 4 (так як 0,3125 більше ніж 0,145).
Приклад 4. Яка ймовірність, що гравець, який слабкіше свого опонента в два рази виграє дві партії з трьох
Для повноти викладу наведу рішення цього завдання, з першого погляду вона схожа на попередні (і так і є, звичайно), але є певна відмінність. А саме, противники тут не рівносильні, а один слабкіше іншого. З точки зору формалізації завдання, це буде означати, що ймовірність виграшу для гравця одно не 0,5, а іншому числу. Якому?
Нехай ймовірність виграшу для гравця дорівнює $ p $, тоді для другого гравця (який за умовою в 2 рази його сильніше), вона дорівнює $ 2p $. При цьому, раз нічиї не враховуються (це стандартне припущення), має виконуватися рівність: $ p + 2p = 1 $, звідки знаходимо $ p = 1/3 $.
А далі залишається тільки застосувати формулу Бернуллі для $ n = 3 $, $ k = 2 $, $ p = 1/3 $. отримуємо
$$ P_3 (2) = C_ {3} ^ 2 \ cdot (1/3) ^ 2 \ cdot (2/3) ^ 1 = 3 \ cdot (1/3) ^ 2 \ cdot (2/3) = 2/9 = 0,222. $$
Відповідь: 0,222.
Корисна сторінка? Збережи або розкажи друзям
Корисні посилання
Знайдіть готові завдання в розв'язнику:
Що імовірніше: виграти не менше трьох партій з чотирьох або не менше шести з восьми?Якому?
Корзина пуста
