1. ЄДІ 2013 Завдання B10 Теорія ймовірностей Висоцький, Ященко, М, 2013 G: \! E \ Підручники \ ЄДІ,...
2. Д1.2.
3. Д1.3.
4. Д1.4.
5. Д1.5.
6. Д1.6.
7. Д1.7.
8. Д1.8.
9. Д1.9.
10. Д1.10.
11. Д1.11.
12. Д1.12.
13. Д1.13.
14. Д1.14.
15. Д1.15.
16. Д1.16.
17. Д1.17.
18. Д1.18.
19. Тренувальна робота 1 (до задачі Д1.1)
20. Тренувальна робота 2 (до завдань Д1.2, Д.1.4)
21. Тренувальна робота 3 (до завдань Д1.3, Д1.5)
22. Тренувальна робота 4 (до завдань Д1.1-Д1.5)
23. Діагностична робота 4
24. ЄДІ 2014 Теорія ймовірностей
25. Завдання 25 (с.32)
26. ЄДІ 2015
27. красива завдання
28. Питання про нерівність трикутника

ЄДІ 2013 Завдання B10 Теорія ймовірностей

Висоцький, Ященко, М, 2013
G: \! E \ Підручники \ ЄДІ, ДПА \ Робочі зошити 2013 \ 10.djvu

Попередній коментар. Завдання діагностичної роботи діляться на два блоки.

У завданнях Д1.1-Д1.9 можна безпосередньо виписати або хоча б перерахувати рівноможливими елементарні події експерименту.

Вирішуючи такі завдання, потрібно дотримуватися загальної схеми.

1. Визначити, в чому полягає випадковий експеримент і які у нього елементарні події (результати). Переконатися, що вони рівноможливими.

2. Знайти загальне число елементарних подій $ N $.

3. Визначити, які елементарні події сприяють цікавого для нас події $ А $, і знайти їх число $ N (A) $. (Подія можна позначити будь-якою літерою.)

4. Знайти ймовірність події А за формулою $ P (A) = \ frac {N (A)} {N} $.

Завдання Д1.10-Д1.14 дещо складнішою. Вони вимагають знання формул додавання і множення ймовірностей. Зрозуміло, кожна задача може бути вирішена різними способами.

Діагностична робота 1

Д1.1.

Вася, Петя, Коля і Льоша кинули жереб - кому починати гру. Знайдіть ймовірність того, що починати гру повинен буде Петя.

Д1.2.

Гральний кубик (кістка) кинули один раз. Яка ймовірність того, що випало число очок, більше ніж 4?

Д1.3.

У випадковому експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно один раз.

Д1.4.

У випадковому експерименті кидають два гральних кубика. Знайдіть ймовірність того, що в сумі випаде 8 очок.

Д1.5.

У випадковому експерименті монету кинули три рази. Яка ймовірність того, що орел випав рівно два рази?

Д1.6.

У змаганнях зі штовхання ядра беруть участь 4 спортсмени з Фінляндії, 7 спортсменів з Данії, 9 спортсменів зі Швеції і 5 - з Норвегії. Порядок, в якому виступають спортсмени, визначається жеребом. Знайдіть ймовірність того, що спортсмен, який виступає останнім, виявиться зі Швеції.

Д1.7.

В середньому з 1000 акумуляторів, які надійшли в продаж, 6 несправні. Знайдіть ймовірність того, що випадково обраний в магазині акумулятор виявиться справним.

Д1.8.

У чемпіонаті з гімнастики беруть участь 20 спортсменок: 8 з Росії, 7 з США, решта - з Китаю. Порядок, в якому виступають гімнастки, визначається жеребом. Знайдіть ймовірність того, що спортсменка, яка виступає першою, виявиться з Китаю.

Д1.9.

У чемпіонаті світу беруть участь 16 команд. За допомогою жереба їх потрібно розділити на чотири групи по чотири команди в кожній. В ящику упереміш лежать картки з номерами груп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

Капітани команд тягнуть по одній картці. Яка ймовірність того, що команда Росії виявиться в другій групі?

Д1.10.

Імовірність того, що нова кулькова ручка пише погано (або не пише), дорівнює 0,1. Покупець в магазині вибирає одну таку ручку. Знайдіть ймовірність того, що ця ручка пише добре.

Д1.11.

На екзамені з геометрії школяреві дістається одне питання зі списку екзаменаційних питань. Імовірність того, що це питання на тему «Вписана окружність», дорівнює 0,2. Імовірність того, що це питання на тему «Паралелограм», дорівнює 0,15. Питань, які одночасно належать до цих двох тем, немає. Знайдіть ймовірність того, що на іспиті школяру дістанеться питання по одній з цих двох тем.

Д1.12.

У торговому центрі два однакових автомата продають каву. Імовірність того, що до кінця дня в автоматі закінчиться кави, дорівнює 0,3. Імовірність того, що кава закінчиться в обох автоматах, дорівнює 0,12. Знайдіть ймовірність того, що до кінця дня кави залишиться в обох автоматах.

Д1.13.

Біатлоніст п'ять разів стріляє по мішенях. Ймовірність влучення в мішень при одному пострілі дорівнює 0,8. Знайдіть ймовірність того, що біатлоніст перші три рази потрапив в мішені, а останні два рази промахнувся. Результат округлите до сотих.

Д1.14.

У магазині коштують два платіжних автомата. Кожен з них може бути несправний з ймовірністю 0,05 незалежно від іншого автомата. Знайдіть ймовірність того, що хоча б один автомат справний.

Д1.15.

Павло Іванович здійснює прогулянку з точки А по доріжках парку. На кожній розвилці він навмання вибирає наступну доріжку, чи не повертаючись назад. Схема доріжок показана на малюнку. Знайдіть ймовірність того, що Павло Іванович потрапить в точку G.

Д1.16.

Павло Іванович здійснює прогулянку з точки А по доріжках парку. На кожній розвилці він навмання вибирає наступну доріжку, чи не повертаючись назад. Схема доріжок показана на малюнку. Частина маршрутів призводить до селища S, інші - в поле F або в болото М. Знайдіть ймовірність того, що Павло Іванович забреде в болото.

Д1.17.

Дві фабрики однієї фірми випускають однакові мобільні телефони. Перша фабрика випускає 30% всіх телефонів цієї марки, а друга - інші телефони. Відомо, що з усіх телефонів, що випускаються першою фабрикою, 1% мають приховані дефекти, а у випускаються другий фабрикою-1,5%. Знайдіть ймовірність того, що куплений в магазині телефон цієї марки має прихований дефект.

Д1.18.

Агрофірма закуповує курячі яйця в двох домашніх господарствах. 40% яєць з першого господарства - яйця вищої категорії, а з другого господарства - 20% яєць вищої категорії. Всього вищу категорію отримує 35% яєць. Знайдіть ймовірність того, що яйце, куплене у цій агрофірми, виявиться з першого господарства.

Тренувальна робота 1 (до задачі Д1.1)

Т1.1. На клавіатурі телефону 10 цифр, від 0 до 9. Яка ймовірність того, що випадково натиснута цифра виявиться парною?

Т1.2. Чергові по класу Олексій, Іван, Тетяна і Ольга кидають жереб - кому прати з дошки. Знайдіть ймовірність того, що прати з дошки дістанеться одній з дівчаток.

Т1.3. Андрій, Борис і Владислав по черзі у випадковому порядку підходять до прилавка кіоску. Яка ймовірність того, що Борис підійде пізніше Андрія?

Т1.4. Яка ймовірність того, що випадково обраний натуральне число від 10 до 19 ділиться на три?

Т1.5. У групі туристів 5 осіб. За допомогою жереба вони вибирають двох осіб, які повинні йти в село за продуктами. Турист А. хотів би сходити в магазин, але він підпорядковується жеребом. Яка ймовірність того, що А. піде в магазин?

Т1.6. У фіналі телевікторини беруть участь чотири гравці, серед яких Іван Петрович. Але головних призів тільки два, і вони будуть розіграні випадковим чином за допомогою комп'ютера. Яка ймовірність того, що Івану Петровичу дістанеться один з головних призів?

Т1.7. Учитель намалював на дошці квадрат ABCD і пропонує учневі вибрати дві вершини. Скільки елементарних подій в цьому досвіді?

Т1.8. Учитель намалював на дошці квадрат ABCD і випадково вибирає дві вершини. Яка ймовірність того, що обрані вершини з'єднуються діагоналлю?

Т1.9. Перед початком футбольного матчу суддя кидає монету, щоб визначити, яка з команд почне гру з м'ячем. Команда «Фізик» грає три матчі з різними командами. Знайдіть ймовірність того, що в цих іграх «Фізик» виграє жереб рівно два рази.

Т1.10. Три друга А., Б. та В. летять на літаку. При реєстрації їм дісталися три крісла поспіль, і друзі зайняли їх у випадковому порядку. Знайдіть ймовірність того, що А. сидить поруч з Б.

T1.11. Чотири друга А., Б., В. і Г. заселяються в готель в два двомісних номери. Адміністратор готелю розподіляє їх за номерами випадковим чином. Знайдіть ймовірність того, що А. і Б. виявилися в одному номері.

Т1.12. Під час психологічного тесту психолог пропонує кожному з двох випробовуваних А. і Б. вибрати одну з трьох цифр: 1, 2 або 3. Вважаючи, що всі комбінації рівноможливими, знайдіть ймовірність того, що А. і Б. вибрали різні цифри.

Тренувальна робота 2 (до завдань Д1.2, Д.1.4)

Т2.1. У випадковому експерименті гральний кубик кидають один раз. Знайдіть ймовірність того, що випаде число, менше ніж 4.

Т2.2. У випадковому експерименті гральний кубик кидають один раз. Знайдіть ймовірність того, що випаде парне число.

Т2.3. Гральний кубик кидають один раз. Знайдіть ймовірність того, що випаде число, відмінне від числа 3 на одиницю.

Т2.4. Гральний кубик кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що перший раз випаде число 6.

Т2.5. Гральний кубик кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що в перший і в другий раз випаде однакове число очок.

Т2.6. Гральний кубик кидають двічі. Скільки елементарних фіналів досвіду сприяють події

А = {сума очок дорівнює 5}?

Т2.7. Гральний кубик кидають двічі. Знайдіть ймовірність події

В = {сума очок дорівнює 6}.

Т2.8. Гральний кубик кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що сума очок парна.

Т2.9. Гральний кубик кидають двічі. Яка сума очок найбільш імовірна?

Т2.10. Гральний кубик кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що випали числа будуть відрізнятися на 3.

T2.11. Гральний кубик кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що сума очок буде менше ніж 4.

Т2.12. Гральний кубик кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що твір випали очок дорівнює 12.

Т2.13. Гральний кубик кидають двічі. Знайдіть число елементарних фіналів, що сприяють події

В = {твір випали очок більше або дорівнює 10}.

Т2.14. Кидають два гральних кубика. Знайдіть ймовірність того, що твір випали очок більше або дорівнює 10.

Тренувальна робота 3 (до завдань Д1.3, Д1.5)

Т3.1. У випадковому експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що настане кінець ОР (в перший раз випаде орел, у другій - решка).

Т3.2. Симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що випаде рівно один орел.

ТЗ.З. Монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що випаде хоча б один орел.

Т3.4. Монету кидають тричі. Знайдіть ймовірність елементарного результату ОРО.

Т3.5. Монету кидають тричі. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно один раз.

Т3.6. Монету кидають тричі. Знайдіть ймовірність того, що решка чи не випаде ні разу.

Т3.7. Монету кидають тричі. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде більше одного разу.

Т3.8. Монету кидають тричі. Яка ймовірність того, що результати двох перших кидків будуть однакові?

Т3.9. Монету кидають тричі. Знайдіть ймовірність того, що решек випаде більше, ніж орлів. Вказівка. Якщо орлів немає зовсім, то вважайте, що їх кількість дорівнює нулю.

Т3.10. Монету кидають тричі. Знайдіть ймовірність того, що результати першого і останнього кидка різні.

T3.11. Монету кидають тричі. Що ймовірніше: випадання одного орла або випадання двох орлів?

Т3.12. Монету кидають чотири рази. Скільки елементарних подій в цьому досвіді?

Т3.13. Монету кидають чотири рази. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно три рази.

Т3.14. Монету кидають чотири рази. Знайдіть ймовірність того, що решка випаде більше двох разів.

Тренувальна робота 4 (до завдань Д1.1-Д1.5)

Т4.1. У випадковому експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що настане елементарний результат РВ.

Т4.2. У випадковому експерименті гральний кубик кидають один раз. Знайдіть ймовірність того, що випало число є дільником числа 6.

Т4.3. Невеликі холодильники упаковані в кубічні картонні коробки. При зберіганні холодильник повинен стояти дном вниз. На складі одну таку коробку поклали випадковим чином, не звертаючи уваги на положення холодильника. Знайдіть ймовірність того, що холодильник зберігається неправильно.

Т4.4. Симетричну монету кидають двічі. Скільки елементарних подій сприяє випаданню хоча б одного орла?

Т4.5. Монету кидають тричі. Знайдіть ймовірність того, що настане елементарний результат РРО.

Т4.6. На рок-фестивалі виступають групи - по одній від кожної із заявлених країн. Порядок виступу визначається жеребкуванням. Яка ймовірність того, що група з Данії виступатиме після групи зі Швеції і після групи з Норвегії? Результат округлите до сотих.

Т4.7. У випадковому експерименті гральний кубик кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що в сумі випаде 8 очок. Результат округлите до сотих.

Т4.8. 1 квітня на запис в перший клас незалежно один від одного прийшло 3 майбутніх першокласника. Знайдіть ймовірність того, що серед них було рівно дві дівчинки і один хлопчик.

Вказівка. Вважайте, що прийшов дитина з однаковою ймовірністю може виявитися хлопчиком або дівчинкою.

Т4.9. Перед початком волейбольного матчу капітани команд тягнуть чесний жереб, щоб визначити, яка з команд почне гру з м'ячем. Команда «Статор» по черзі грає з командами «Ротор», «Мотор» і «Стартер». Знайдіть ймовірність того, що «Статор» буде починати тільки першу і третю гру.

Т4.10. Монету кидають чотири рази. Знайдіть ймовірність того, що решка випадала більше разів, ніж орел.

T4.11. Гравець затиснув в кулаці носовичок так, що між пальцями стирчать лише чотири куточки. Другий гравець навмання вибирає два куточка. Він виграє, якщо взяв хустку за діагональ, і програє в іншому випадку. Знайдіть ймовірність виграшу другого гравця.

Т4.12. Дан правильний п'ятикутник. Учитель пропонує учневі вибрати навмання дві вершини. Знайдіть ймовірність того, що обрані вершини належать одній стороні п'ятикутника.

Т4.13. У випадковому експерименті гральний кубик кидають двічі. Скільки елементарних фіналів досвіду сприяє події

А - {сума очок парна}?

Т4.14. У випадковому експерименті гральний кубик кидають два рази. Знайдіть ймовірність того, що різниця випали очок буде менше ніж 2.

Т4.15. Знайдіть ймовірність того, що добуток трьох останніх цифр випадкового телефонного номера непарній.

Діагностична робота 4

Д4.1. Саша і Міша вирішили пограти в шахи. Саша ховає в одній руці білу пішака, а в іншій - чорну. Миша вибирає колір своїх фігур, вказуючи на ліву чи праву руку Саші. З якою ймовірністю Миша вкаже на руку з білою пішаком?

Д4.2. Гральну кістку кинули один раз. Яка ймовірність того, що випало просте число?

Д4.3. На столі лежать 10 карток, на яких написані числа від 1 до 10. Даша випадково витягує одну картку. З якою ймовірністю число на обраній картці більше 7?

Д4.4. У випадковому експерименті кидають дві гральні кістки по черзі. Знайдіть ймовірність того, що на першій кістки випало більше очок, ніж на другий.

Д4.5. У випадковому експерименті монету кинули три рази. Знайдіть ймовірність того, що решка випала не більше двох разів.

Д4.6. У змаганнях зі штовхання ядра беруть участь 4 спортсмени з Естонії, 3 спортсмена з Латвії, 5 спортсменів з Литви і 8 - з Данії. Порядок, в якому виступають спортсмени, визначається жеребом. Знайдіть ймовірність того, що спортсмен, який виступив останнім, виявиться з Латвії.

Д4.7. В середньому з 1000 телевізорів, що надійшли в продаж, 3 несправні. Знайдіть ймовірність того, що випадково обраний телевізор під час перевірки виявиться справним.

Д4.8. У чемпіонаті з гімнастики беруть участь 20 спортсменок: 7 з Канади, 6 з США, решта - з Великобританії. Порядок, в якому виступають гімнастки, визначається жеребом. Знайдіть ймовірність того, що гімнастка, яка виступає першою, виявиться з Великобританії.

Д4.9. Аня загадує два випадкових числа від 1 до 9. Знайдіть ймовірність того, що сума цих чисел ділиться на 3.

Д4.10. Автоматична лінія розливає питну воду в пляшки по 5 л. У 98% випадків обсяг води в пляшці відрізняється від норми не більше ніж на 0,2 л. Яка ймовірність того, що в випадково обраної пляшці обсяг води буде менше ніж 4,8 л або більше ніж 5,2 л?

Д4.11. На заліку з тригонометрії школяреві дістається одна задача зі збірки. Імовірність того, що це завдання на тему «Формули приведення», дорівнює 0,24. Імовірність того, що це завдання на тему «Універсальна тригонометрическая підстановка», дорівнює 0,08. У збірнику немає завдань, які одночасно належать до цих двох тем. Знайдіть ймовірність того, що на заліку школяреві дістанеться завдання по одній з цих двох тем.

Д4.12. В інтернет-магазині три телефонних оператора. У випадковий момент оператор зайнятий розмовою з клієнтом з ймовірністю 0,6 незалежно від інших. Клієнт дзвонить в магазин. Знайдіть ймовірність того, що в цей момент всі оператори зайняті.

Д4.13. Гральний кубик кидають три рази. Яка ймовірність того, що всі три рази випадуть парні числа?

Д4.14. Імовірність того, що новий маркер пише погано (або не пише), дорівнює 0,06. Покупець в магазині вибирає один такий маркер. Знайдіть ймовірність того, що цей маркер пише добре.

Д4.15. Крапля води стікає по металевій сітці (див. Рис.) В кожному вузлі сітки крапля з рівними шансами може стекти вниз вправо або вліво. Знайдіть ймовірність того, що, скотившись вниз, крапля опиниться в точці А.

Д4.16. Крапля води стікає по металевій сітці (див. Рис.) В кожному вузлі сітки крапля з рівними шансами може стекти вниз вправо або вліво. Знайдіть ймовірність того, що, скотившись вниз, крапля опиниться на ділянці А-В.

Д4.17. Ковбой Джон потрапляє в муху на стіні з ймовірністю 0,9, якщо стріляє з пристреляв револьвера. Якщо Джон стріляє з непрістрелянного револьвера, то він потрапляє в муху з ймовірністю 0,2. На столі лежить 10 револьверів, з них тільки 4 пристреляв. Ковбой Джон бачить на стіні муху, навмання вистачає перший-ліпший револьвер і стріляє в муху. Знайдіть ймовірність того, що Джон промахнеться.

Д4.18. У ветеринарній лабораторії проводяться аналізи на лямбліоз. Якщо аналіз не показує захворювання, говорять, що результат аналізу негативний. В іншому випадку - що результат позитивний. Імовірність помилкового негативного аналізу у хворої лямбліоз собаки дорівнює 0,6. Якщо аналіз негативний, лікар призначає повторний аналіз. Третій аналіз не призначається. Знайдіть ймовірність того, що за допомогою такої процедури у хворої лямбліоз собаки вдасться виявити це захворювання.

відповіді

ЄДІ 2014 Теорія ймовірностей

Іванов та ін, Ростов-на-Дону, 2013
G: \! E \ Підручники \ ЄДІ, ДПА \ Робочі зошити 2014 \ ЄДІ 2014. Математика. Теорія ймовірностей Іванов 2013.pdf

Завдання 25 (с.32)

На малюнку 1 зображений лабіринт. Мишка заповзає в лабіринт в точці «Вхід». Розвернутися і йти назад мишка не може, тому на кожному розгалуженні мишка вибирає один із шляхів, за яким ще не йшла. Вважаючи, що вибір подальшого шляху чисто випадковий, визначте, з якою ймовірністю мишка прийде до виходу В.

відповідь

ЄДІ 2015

завдання T4.ll

Гравець затиснув в кулаці носовичок так, що між пальцями стирчать лише чотири куточки. Другий гравець навмання вибирає два куточка. Він виграє, якщо взяв хустку за діагональ, і програє в іншому випадку. Знайдіть ймовірність виграшу другого гравця.

красива завдання

У кімнаті стоять 100 однакових коробок, збудованих в ряд. У кожній з них знаходиться (унікальне) ім'я одного з 100 в'язнів - причому ім'я кожного з них знаходиться в одній з цих коробок. В'язнів по черзі запускають в кімнату. Кожен з них має право відкрити одну за одною 50 коробок зі ста. Якщо хоча б один з них не знайде свого імені, всі вони будуть страчені; якщо ж кожному вдасться знайти своє ім'я - всіх випустять на свободу. В'язні не мають права - і можливості - спілкуватися один з одним після виходу з кімнати; ніяких позначок в кімнаті робити не можна; перекладати імена в коробках не можна (втім, наглядачі цього робити теж не будуть). Коротше кажучи, кожен в'язень знаходить кімнату в точно тому ж стані, що і попередній. Єдина можливість поспілкуватися - ДО випробування.

Як їм слід діяти, щоб ймовірність вижити для них [всім ста] виявилася вище 30%?

Рішення

Треба щоб в'язні домовилися про наступне:

нехай для простоти кожен в'язень буде числом (від 1 до 100 в нашому прикладі).

Тоді заходячи в кімнату кожен в'язень йде відкривати першої коробку - відповідну його порядковому номеру (наприклад 10 в'язень відкриває 10, 30 - 30).

Далі в'язень йде відкривати коробку з порядковим номером, який він знайшов в цій коробці (в даному випадку ім'я - але ми будемо вважати що все в'язні мають суперпамять і відповідно пам'ятають який номер відповідає цьому імені.

и так далі ...

Тобто алгоритм відкривання коробок такий: x, f (x), f (f (x)), f (f (f (x))) ...

де x - порядковий номер в'язня.

У якийсь момент часу f (... ..f (x)) буде дорівнює самій x. (У нас обмежений циклічний список - таким чином ми маємо перестановку).

Обчислюємо ймовірність непотрапляння на таку перестановку за 50 спроб

Отримуємо 1/51 + 1/52 + 1/53 + ... + 1/100, що еквівалентно ln (2)

А потім з одиниці віднімаємо отриманий результат: 1-ln (2) - це і буде відповіддю - ймовірність вийти на таку перестановку.

Підсумковий результат 1-ln (2) = - +0,30685281944 ... Що і становить трохи більше 30%

розібрана в журналі квант

http://dxdy.ru/topic43870-45.html

Наводжу рішення.

Яким-небудь чином пронумеруємо коробки (наприклад, зліва направо) і в'язнів (наприклад, за алфавітом або за віком). При цьому виникне одна з 100! перестановок безлічі {1, 2, ..., 100}.

Нагадаю, що кожна перестановка єдиним чином розкладається в добуток незалежних циклів.

Стратегія в'язнів полягає в наступному:

Кожен в'язень відкриває коробку з присвоєним йому номером.

Якщо йому пощастить, то він виявить там записку зі своїм ім'ям.

В іншому випадку він відкриває коробку з номером того в'язня, чиє ім'я він виявив в першій коробці. І т.д. до тих пір, поки не знайде коробку зі своїм ім'ям або не вичерпаний 50 спроб.

Легко бачити, що все в'язні вкладуться в 50 спроб в тому і тільки в тому випадку, коли в циклічної запису перестановки НЕ буде циклу, довжина якого перевищить 50.

Порахувати ймовірність цього не дуже складно. Дійсно, якщо в перестановці є цикл довжини k, причому k> 50, то такий цикл один. Є $ \ frac {n!} {K! (Nk)!} $ Способів вибрати безліч елементів цього циклу, (nk)! способів задати перестановку на інших, і (k-1)! способів вибудувати вибрані елементи в цикл (досить поставити на перше місце, скажімо, найменший з них, після чого залишиться (k-1)! способів вибудувати по порядку інші). Таким чином, перестановок з циклом довжини k рівно n! / K, а ймовірність нарватися на таку перестановку дорівнює 1 / k. Тому, шукана ймовірність дорівнює $ 1-1 / 51 - 1/52 - \ ldots- 1/100 $, що більше 0.3.

У межі ж отримуємо 1-ln (2), що, до речі, теж більше 0.3

Питання про нерівність трикутника

https://www.youtube.com/watch?v=AtzHvKYWRM8

Є довга паличка. Ми її розламуємо в двох місцях (випадковим чином, паличка повністю однорідна). Яка ймовірність того, що з трьох отриманих відрізків можна скласти трикутник?

Рішення

Відповідь, звичайно, 1/4 (або 25%).

Ось одне з можливих рішень. Звичайно, перевіряти треба нерівність трикутника - кожна сторона коротше суми двох інших. Легко порахувати, наприклад, ймовірність того, що лівий з трьох відрізків буде «поганий» - довше суми двох інших. Для цього обидва рази ми повинні зламати паличку у правій половині; ймовірність 1/2 * 1/2 = 1/4. Те ж саме працює і для правого відрізка.

Із середнім складніше. Щоб зрозуміти, що насправді все три відрізка в однаковому становищі, розглянуті не паличку, а кільце. Зламаємо його в трьох випадкових місцях. Після того, як ми зламали його перший раз, ми отримали в точності вихідне умова завдання. З іншого боку, для кільця очевидно, що кожен з трьох отриманих відрізків буде довшим суми інших з однієї і тієї ж ймовірністю (яка, як ми зрозуміли, 1/4). Разом залишається 25% випадків, в яких вийде трикутник.

mat / tasks / ver.txt · Останні зміни: 2018/07/30 19:10 - kc